基本定义

平方根：如果 x² = a（a ≥ 0），那么 x 叫作 a 的平方根，表示为 ±$\sqrt{a}$。

算术平方根：正数 a 有两个平方根 ±$\sqrt{a}$，我们把正数 a 的正的平方根 $\sqrt{a}$ 叫做 a 的算术平方根，表示为$\sqrt{a}$。

（一）连分数法

连分数法求 $\sqrt{S}$，使 $S = a^2 + b(a^2 > b)$，则有

$$\sqrt{S} = a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+...}}}$$

证明：（只是帮助理解，不是严格的数学证明）

$$S=a^2+b$$ $$(\sqrt{S}+a)(\sqrt{S}-a)=b$$ $$\sqrt{S} = a+\frac{b}{a+\sqrt{S}}$$ $$\sqrt{S} = a+\frac{b}{a+a+\frac{b}{\sqrt{S}}}$$ $$\sqrt{S} = a+\frac{b}{2a+\frac{b}{a+\sqrt{S}}}$$

例子：求$\sqrt{150}$（实际值约为 12.24744871391589）

$$150=12^2+6$$ $$\text{取一层：}\sqrt{S} \approx 12+\frac{6}{24} \approx (12.2)5$$ $$\text{取两层：}\sqrt{S} \approx 12+\frac{6}{24+\frac{6}{24}} \approx (12.2474)226$$ $$\text{取三层：}\sqrt{S} \approx 12+\frac{6}{24+\frac{6}{24+\frac{6}{24}}} \approx (12.247448)979$$ $$...（每多一层似乎可以多精确两位小数）$$

（二）长除法

步骤：分段（小数点左右每两位一段）、试根、求余项。

证明：（只是帮助理解，不是严格的数学证明）

$$\text{假设：}\sqrt{S}=10a + b$$ $$S=100a^2+b^2+20ab$$ $$S - 100a^2=(20a+b)b$$

把 a 看作试根中的根，则 $S-100a^2$ 为余项，b 为下一次的试根结果，直到余项为 0。

例子：求 $\sqrt{1234}$ ：（实际值约为 35.1283361405）

1. 分段 $\sqrt{12,34.00,00,00...}$

2. 试 12 的根，$3 \times 3$，求得余项为 334

3. 试 334 的根，接下来的每次试根需要在已求得的根上乘以 20，即 $（3 \times 20+x） \times x$，求得 x 为多少时最接近 334，则 x 为此次的试根结果

4. 重复步骤，直至达到想求的精度为止

1.分段

$$\sqrt{12,34.00,00,00...}$$

2.试根

$$试 12 的根：\overset{3}{\sqrt[3]{12}} 为 3$$

3.求余项

$$余项为：334（每两位一组）$$

4.试上一步余项的根，得到试根结果和下一步的余项，重复步骤，直至达到想求的精度为止

$$\overset{3x}{\sqrt[6x]{334}}\Rightarrow\overset{35}{\sqrt[65]{334}}\\ (前面求得的根乘以\ 20，(60 + x) \times x，x 为\ 5\ 时最接近\ 334，试根结果为\ 5)\\ 余项为\ 334 - 325，还需下移两位得到 900，小数点位置不变$$

4.重复步骤，得到试根结果为 1，余项为 19900

$$\overset{35.x}{\sqrt[70x]{900}}\Rightarrow\overset{35.1}{\sqrt[701]{900}}\\$$

4.重复步骤，得到试根结果为 2，余项为 585600

$$\overset{35.1x}{\sqrt[702x]{19900}}\Rightarrow\overset{35.12}{\sqrt[7022]{19900}}\\$$

4.重复步骤，得到试根结果为 8，余项为 2361600

$$\overset{35.12x}{\sqrt[7024x]{585600}}\Rightarrow\overset{35.128}{\sqrt[70248]{585600}}\\$$

4.重复步骤，直至达到想求的精度为止...